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fundamentos
Métodos de Demostración
Introducción
En el apéndice A se hace un resumen de los sistemas numéricos (naturales, enteros, racionales,
irracionales, reales y complejos) y las operaciones usuales que se definen en éstos, debido
a esto se sugiere que se haga una lectura de dicho apéndice para mejorar la comprensión
de los ejemplos y ejercicios que se proponen en este capítulo, así como la justificación en
las demostraciones. Los métodos de demostración son herramientas que facilitan las deducción
o demostraciones de teoremas, el uso de estos métodos está supeditado a los objetos
matemáticos que se enuncian en el teorema, aunque algunos de ellos se pueden demostrar
por métodos diferentes.
Método Directo
El método directo se base en las proposiciones del tipo P → Q, en dicho caso la P corresponde
a la hipótesis y Q a la tesis, para ello se inicia suponiendo que la hipótesis es verdadera
y tras una serie de cadenas lógicas (axiomas, definiciones, teoremas, corolarios, lemas) se
concluye Q, lo cual es suficiente para concluir que P → Q es verdadera de acuerdo con la
tabla de verdad del condicional.
Es importante tener en cuenta las siguientes anotaciones que hace Alberto Jaramillo (ver
[11]) acerca del método de demostración directo
1. De forma intuitiva podemos fundamentar la validez de este método en el hecho de que
la implicación es falsa únicamente en el caso en el cual partiendo de un antecedente
verdadero se llegará a una conclusión falsa; éste es precisamente el caso que queda
descartado cuando asumiendo la verdad del antecedente concluimos la verdad del
consecuente. Como con antecedente falso la implicación es siempre verdadera no se
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requiere ninguna otra consideración.
2. Es fundamental tener presente que al aplicar este método no se está determinando
la validez absoluta del consecuente Q, sino su validez relativa al supuesto de que el
antecedente P es verdadero. En consecuencia, lo que se válida absolutamente es que
P → Q es verdadero.
3. En una misma demostración podemos aplicar reiteradamente el método directo si la
conclusión del primer condicional es a su vez otro condicional y así sucesivamente.
Método Contrajemplo
Este es un procedimiento para objetar una afirmación o una proposición Pa, consiste en
hallar un caso en el cual no tenga cumplimiento tal proposición, en el sistema formal de la
lógica cuantificacional se expresó esta condición como ∼ (∀x)(Px), es decir, que no es cierto
para toda x (en un dominio de referencia) tal que Px se cumpla. Este método es conveniente
para refutar enunciados generalizados universalmente, aunque también a través del
cuantificador existencial como en la situación (∃x)(x2 + 1 = 0) con dominio de referencia
en los reales.
Método del Contrarrecíproco
El método del contrarrecíproco es una variante del método directo. Es empleado, por lo
general, para probar condicionales en los que al hacer la demostración directa no se logra
llegar a la conclusión deseada. En este caso, razonamos por el método directo para probar
el contrarrecíproco del condicional que se quiere demostrar; así: Se supone que la negación
del consecuente es verdadera para deducir la veracidad de la negación del antecedente, por
medio de una sucesión de argumentos válidos; luego de esto, se concluye que el condicional
inicial es verdadero. La validez de este método se puede apoyar en el teorema del contrarrecíproco
que afirma que todo condicional es equivalente a su contrarrecíproco.
Es decir, al considerar el enunciado P → Q, con P la hipótesis y Q la tesis; el contrarrecíproco
de dicho condicional es de la forma ∼ Q →∼ P, donde la hipótesis para esta
situación es ∼ Q y la tesis ∼ P, cuya veracidad se demuestra a través del método directo.
Método Indirecto
El método indirecto o también conocido como reducción al absurdo, se basa, al igual que el
método del contrarrecíproco en proposiciones de la forma P → Q, donde Q no se deduce de
P de forma directa, siendo P la hipótesis. A diferencia del método del contrarrecíproco se
considera que el condicional P → Q no es cierto y se busca una contradicción con el ánimo
de asegurar que P → Q si es verdadera. Por lógica proposicional ∼ (P → Q) es equivalente
a P∧ ∼ Q, así que se puede hacer uso de ∼ Q como una hipótesis auxiliar la cual se
llamará negación de la tesis, al momento de encontrar la contradicción necesaria se hace
uso del símbolo ⇒⇐ para indicar tal situación; la contradicción puede ser con la hipótesis
o con un resultado matemático que sea válido.
Inducción Matemática
EL principio de inducción matemática es un método que se aplica siempre que se esté trabajando
sobre la base del conjunto de los números naturales, principio que sirve para demostrar
las generalizaciones de las propiedades que cumplen algunos de los objetos matemáticos.
En este método se verifica en primera instancia que la proposición sea cierta para un primer
elemento, luego se supone cierta para un elemento k y se demuestra la veracidad para el
siguiente número k + 1 a partir del elemento k. El principio se asemeja al efecto dominó
donde los dominos se ubican verticalmente y se disponen siguiendo una secuencia, de tal
manera que al dejar caer el primer dominó esté afecta los demás.
tomado de logica reimpreso de:
Juan Carlos Arango
Diana Acevedo Velez
Docentes UdeA
